Processus stochastiques sur réseaux : au-delà des hypothèses de Markov

Résumé

La théorie des graphes est une branche des mathématiques en plein essor dont les applications sont multiples, notamment l'étude de propagation de maladies ou de l'information. Cependant, l'approche classique se concentre principalement sur les propriétés intrinsèques des réseaux étudiés et se base sur les hypothèses de Markov qui négligent la composante dynamique du problème. Or, ces hypothèses sont mises en défaut dans les études sur données réelles. Ainsi est-il important de prendre en considération la mémoire du réseau et les caractéristiques liées aux réseaux ou aux propagations impliquant des humains, comme, par exemple, le fait que les hommes ont de courtes périodes d'activité intense suivies de longues périodes d'inactivité, la présence de communautés ou encore la temporalité des liens sociaux. Le rejet de ces hypothèses de Markov implique des différences fondamentales dans les résultats observés, telles que le passage d'une équation différentielle à une équation intégro-différentielle pour décrire la dynamique d'infection dans un modèle compartimental.
Deux pistes impliquant des processus différents sont développées dans ce mémoire afin d'aller au-delà des hypothèses de Markov.
D'une part, nous nous intéressons à une généralisation du processus de percolation, appelée processus de branchement de Bellman-Harris, que nouys appliquons sur une nouvelle matrice qui permet de prendre en compte la force dynamique des liens lors d'une propagation sur un réseau.
D'autre part, nous étudions les résultats que l'on peut obtenir via l'étude de l'agrégation de marches aléatoires sur un réseau grâce à des manipulations dans l'espace de Laplace associé.
Il existe toutefois une différence fondamentale entre l'étude d'une propagation compartimentale et l'agrégation de marches aléatoires. Celle-ci réside dans la corrélation de l'état de tous les noeuds possédant un voisin commun qui existe dans le cas d'une propagation globale unique telle que simulée via percolation mais qui disparaît lorsqu'on l'approxime par agrégation de processus indépendants.
Enfin, des simulations numériques sur un réseau connu et contrôlé mettent en évidence l'impact du rôle de la variance de la distribution du temps d'attente avant infection lors d'une propagation dans un réseau. Les résultats indiquent que, en un temps donné, tant la profondeur moyenne maximale que la taille moyenne de l'épidémie augmentent lorsque la variance augmente.

la date de réponse	17 janv. 2013
langue originale	Français
L'institution diplômante	Universite de Namur
Superviseur	Renaud Lambiotte (Promoteur), Timoteo Carletti (Jury), Jean-Charles DELVENNE (Jury) & Lionel Tabourier (Jury)