La théorie de Galois aujourd'hui

Résumé

Ce mémoire s'inscrit davantage comme un résumé non-exhaustif des différents sujets dans lesquels la théorie de Galois interfère que comme une véritable présentation rigoureuse de toute cette théorie. Le premier chapitre est consacré à la théorie de Galois classique, celle développée par Galois, mais sous sa forme
moderne. Ce dernier est plus complet que les chapitres suivants car il est à la
base de tous ceux qui le succèdent. L'objectif visé est de formuler une présentation plus simple que ce que l'on peut trouver dans les livres ou dans les cours connus de cette théorie et de démystifier certains points pour les néophytes. Ainsi, j'espère exposer une approche que j'aurais aimé avoir lue lors de mes premiers contacts avec la théorie de Galois. Le deuxième chapitre est consacré à la théorie de Galois infinie, un premier prolongement de la théorie de Galois classique aux extensions algébriques de degré infini. Cette théorie, pourtant importante, est assez peu exposée dans les livres sur la théorie de Galois et le but de cette section est de coupler la théorie quelque peu abstraite avec des exemples assez concrets. Le troisième exhibe les liens entre l'arithmétique des extensions de Q et le groupe de Galois associé. Ce chapitre explicite comment la théorie de Galois s'inscrit naturellement dans une théorie plus ancienne qu'elle : La théorie des nombres. Le quatrième présente succinctement la théorie de Galois différentielle. Celle-ci possède de nombreuses analogies avec le premier chapitre mais l'objet principal de cette section est l'équation différentielle linéaire. Le cinquième chapitre porte sur la théorie de Galois des revêtements, une théorie qui montre qu'il existe une correspondance galoisienne entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental de l'espace topologique de base.

la date de réponse	21 juin 2021
langue originale	Français
L'institution diplômante	Universite de Namur
Superviseur	Alexandre Mauroy (Promoteur)