Etude de la stabilité uniforme des systèmes commutés non linéaires via l'opérateur de Koopman

  • Christian MUGISHO ZAGABE

Thèse de l'étudiant: Master typesMaster en sciences mathématiques

Résumé

Il est des situations où un système dynamique est une combinaison de plusieurs autres sous-systèmes variant au cours du temps. Mises ensemble, les dynamiques de ces sous-systèmes individuels constituent un système commuté. Le passage d'un sous-système à l'autre est régi par une loi qui active seulement ce dernier pendant un temps donné. La stabilité des systèmes dynamiques commutés est une problématique qui dépasse les idées intuitives. La loi de commutation est plus que décisive dans le comportement de l'ensemble des sous-systèmes, que ceux-ci soient tous stables individuellement ou pas. Il existe cependant des systèmes commutés stables quelle que soit la règle de passage d'un sous-système à l'autre. On parle alors de la stabilité uniforme. Nombreux sont les résultats liés à l'étude de cette dernière dans le cas linéaire. Le cas non linéaire est principalement étudié localement par la linéarisation autour de l'équilibre. Dans le cas linéaire, un critère plus général est basé sur la résolubilité de l'algèbre de Lie engendrée par les matrices correspondant aux différents sous-systèmes. Ce critère (et/ou d'autres liés à la structure de l'algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs) n'est pas facilement étendu au cas non linéaire et D. Liberzon en propose un problème ouvert. Ce dernier résout partiellement la question en considérant des critères de "nilpotence" qui sont plus restrictifs.

Dans ce travail, nous appliquons l'opérateur de Koopman à un système commuté non linéaire qui le transforme en un système commuté linéaire dans l'espace des fonctions observables. Nous développons en particulier une méthode numérique basée sur la réalisation de l'opérateur de Koopman dans la base de monômes. Les matrices de Koopman ainsi obtenues peuvent alors être traitées via le grand arsenal de méthodes qui existent pour l'étude de la stabilité uniforme dans le cas linéaire. Par ailleurs, nous développons un algorithme qui teste la résolubilité de l'algèbre de Lie engendrée par les matrices de Koopman, permettant ainsi de déterminer la stabilité uniforme du système commuté de manière systématique. Nous terminons par le développement d'une méthode permettant d'estimer le bassin d'attraction d'un système commuté à partir d'une fonction de Lyapunov commune.
Date de réussite22 juin 2017
langueFrançais
Institution diplomante
  • Université de Namur
SuperviseurAlexandre Mauroy (Promoteur), Timoteo Carletti (Jury), Annick Sartenaer (Jury) & Joseph Winkin (Jury)

Citer ceci

Etude de la stabilité uniforme des systèmes commutés non linéaires via l'opérateur de Koopman
MUGISHO ZAGABE, C. (Auteur). 22 juin 2017

Thèse de l'étudiant: Master typesMaster en sciences mathématiques