Caractérisation spectrale de l'opérateur de Koopman pour un équilibre non hyperbolique

  • Félicien Rafiki Lulihoshi

    Thèse de l'étudiant: Master typesMaster en sciences mathématiques

    Résumé

    De nos jours, la notion de système dynamique s'étend de plus en plus à tous les domaines. Plusieurs problèmes (phénomènes) de la vie courante évoluent au cours du temps et peuvent être modélisés par des équations différentielles. Les scientifiques s'intéressent à l'étude de la stabilité de ces modèles.
    Cette question est déjà abordée par des outils classiques (linéarisation autour de l'équilibre, …) et cela pour des systèmes hyperboliques et des cycles limites. La linéarisation ne peut pas être utilisée pour étudier la stabilité d'un système dynamique non hyperbolique (un système dont au moins une des valeurs propres de la jacobienne est à partie réelle nulle), [1, p.19,135].
    On souhaite donc étudier la stabilité de tels systèmes sans les linéariser localement, ce qui peut être réalisé au travers les propriétés spectrales de l'opérateur de Koopman. L'objectif de ce mémoire est ainsi d'étudier le spectre de l'opérateur de Koopman associé à des systèmes non hyperboliques et de calculer numériquement ses fonctions propres.
    Nous avons appliqué l'opérateur de Koopman (son générateur infinitésimal) à un système dynamique (non linéaire) non hyperbolique pour étudier son spectre en considérant différents espaces de fonctions observables. Nous avons par la suite développé une méthode numérique pour approximer l'opérateur de Koopman par une matrice de grande taille dans une base finie (base de monômes ou base de Fourier). La matrice obtenue dans la base de Fourier a été utilisée pour calculer numériquement les approximations des fonctions propres généralisées.
    la date de réponse3 sept. 2018
    langue originaleFrançais
    L'institution diplômante
    • Universite de Namur
    SuperviseurALEXANDRE MAUROY (Promoteur), Joseph WINKIN (Jury), Timoteo Carletti (Jury) & Andre Hardy (Jury)

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