Automatisation de la normalisation à la Birkhoff

  • Frédéric LAURENT

    Student thesis: Master typesMaster en sciences mathématiques

    Résumé

    Un des problèmes fréquemment rencontré en mécanique céleste est l'étude des trajectoires, des orbites de corps aux alentours d'un point équilibre. Cette recherche de l'expression de l'orbite du corps considéré peut s'effectuer à l'aide de différentes méthodes. Il existe parmi ces méthodes, la méthode dite de normalisation à la Birkhoff qui, sur base d'un hamiltonien donné, permet de le développer autour de l'équilibre tout en le réduisant à sa plus simple expression. Si nous effectuons en plus de cela une moyennisation de cet hamiltonien afin d'éliminer les termes angulaires présents, nous obtenons un hamiltonien plus facile à manipuler et à intégrer. Il devient alors possible d'étudier le comportement du corps à proximité de l'équilibre considéré.
    Le but de ce mémoire est de mettre au point deux programmes en Fortran qui, sur base d'un hamiltonien initial fourni par l'utilisateur, vont appliquer cette méthode de normalisation à la Birkhoff autour d'un équilibre (nous nous contenterons dans ce travail de considérer un équilibre stable).
    Le premier programme aura pour objectif d'effectuer la normalisation à la Birkhoff autour d'un équilibre stable dans le cas où l'on a un degré de liberté et considérera ensuite la moyennisation de l'hamiltonien en utilisant la méthode de transformation de Lie. Le second programme sera une généralisation du premier puisqu'il traitera la même normalisation mais à deux degrés de liberté cette fois.
    Dans ce second programme, la moyennisation considérée sera identique à celle présentée dans le premier programme.
    Pour manipuler ces hamiltoniens, ou plus généralement les séries de Poisson, sur ordinateur, il a fallu mettre au point ce que l'on appelle des manipulateurs de séries. Il existe ainsi un ensemble de systèmes informatiques généraux tels que Reduce, Mathematica … qui permettent de traiter les séries de Poisson. Ces systèmes sont certes fort évolués mais parfois trop complexes pour l'utilisation que l'on désire en faire. On a alors vu apparaître un grand nombre de processeurs spécialisés dans la manipulation des séries de Poisson. Aux FUNDP à Namur, un mini-manipulateur a été développé en langage Fortran. Il s'agit du Minim's. Ce manipulateur, moins sophistiqué que d'autres, permet d'obtenir de bons résultats. Il est plus simple à utiliser et également moins gourmand en temps de calcul. Pour réaliser les deux programmes sur la normalisation, nous allons devoir utiliser un manipulateur de séries et notre choix s'est porté sur le Minim's.
    La démarche suivie dans ce travail est la suivante. Nous allons tout d'abord donner une introduction théorique sur la normalisation, sur les méthodes utilisées, ainsi que sur les sous-routines de Minim's dont nous aurons besoin et leur utilisation. Après cela, nous passerons à la création d'un premier programme et des sous-routines utilisées par celui-ci. Ces sous-routines sont rédigées de façon assez générale, ce qui leur permet d'être utilisées à la fois dans les deux programmes mais également pour d'autres applications si elles s'avèrent intéressantes. Une fois ce programme terminé, un test sera effectué à partir d'un hamiltonien relativement simple. Nous en profiterons pour développer la marche à suivre pour utiliser ce programme. Nous pourrons ensuite passer à la réalisation du second programme, qui ne sera qu'une généralisation du premier. On retrouvera donc la même structure d'ensemble ainsi que les mêmes sous-routines. Nous effectuerons aussi un test sur base d'un exemple plus complexe et plus intéressant et nous expliquerons également la méthode à suivre pour utiliser ce second programme?
    la date de réponse1991
    langue originaleFrançais
    L'institution diplômante
    • Universite de Namur
    SuperviseurJacques HENRARD (Promoteur)

    Contient cette citation

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