Application de la théorie des limites de graphes aux systèmes dynamiques sur réseau de type réaction-diffusion et instabilité de Turing

Résumé

Étudier un réseau et la dynamique qui opère sur celui-ci possède un grand intérêt puisque les processus rencontrés dans la nature ou les technologies peuvent souvent être modélisés aux moyens d’un réseau. Cependant, la complexité de tels réseaux, qui sont de plus en plus grands, empêche encore à ce jour d’obtenir certaines réponses. Nous inscrivons notre recherche dans la théorie des graphons qui définit un objet limite conservant en mémoire la structure du réseau. Nous appliquons cette théorie au cas de dynamique de réaction-diffusion incluant des cas d’instabilité de Turing, où l’équilibre stable de la réaction est instable pour la réaction-diffusion. Nous montrons que la solution sur réseau converge vers celle définie via un graphon, nous offrant une alternative à l’introduction de la dynamique sur un très grand graphe. Cette approche par les graphons nous faisant gagner de la mémoire et du temps d’exécution, elle permet entre autres de connaitre plus facilement les motifs de Turing. Un autre avantage du graphon est la détermination relativement aisée de la stabilité et de la structure propre de l’opérateur graphon correspondant.
Cet opérateur étant l’analogue en dimension infinie de la matrice Laplacienne
du graphe, il nous permet d’éviter d’étudier la structure propre d’une matrice de grande dimension.

la date de réponse	24 juin 2019
langue originale	Français
L'institution diplômante	Universite de Namur
Superviseur	Timoteo Carletti (Promoteur) & Julien PETIT (Copromoteur)