Approximation du hessien en optimisation non linéaire multi-niveaux

De nombreux problèmes d'optimisation sont formulés dans des espaces de dimension infinie ou représentent un tel problème dans un espace de dimension élevée (problèmes de contrôle des systèmes dynamiques décrits par des équations aux dérivées partielles, d'assimilation de données en météorologie, hydrologie ou exploitation de l'énergie nucléaire,...). La même question se pose pour une classe de problèmes plus généraux, les problèmes de complémentarité. Dans ce dernier cas, on souhaite trouver un vecteur satisfaisant, en plus de contraintes potentiellement non-linéaires, des relations d'orthogonalité spécifiques (comme les conditions de complémentarité entre activités et multiplicateurs de Lagrange à la solution de problèmes d'optimisation, d'où leur nom).

La structure commune aux problèmes cités plus haut est qu'ils sont posés dans une hiérarchie emboitée d'espaces qui représentent des descriptions de la plus grossière à la plus fine de la question d'optimisation posée. Dans un problème d'assimilation de données météorologiques, par exemple, on cherche à déterminer en fonction des observations disponibles les champs de données significatives (pression, température, salinité,...) en tant que conditions initiales pour un système dynamique duquel seront déduites les prévisions. Mais ces données sont typiquement définies plus ou moins finement en spécifiant la discrétisation choisie pour la portion du système air/océan étudiée. Une grille de discrétisation à large maille donnera une description grossière des champs étudiés, tandis qu'une maille plus serrée donnera évidemment une description plus fine.

Cette structure hiérarchique des descriptions correspondant à des grilles (ou niveaux) de discrétisation de finesse croissante peut être exploitée de diverses manières. La plus simple est de la considérer uniquement comme un support au traitement des approximations du problème dans sa forme la plus fine. On considère alors des méthodes qui linéarisent la description fine et utilisent ensuite des méthodes numériques spécifiques (les algorithmes multi-grilles) pour traiter cette linéarisation dans un espace de grande dimension. Cette approche a déjà fait ses preuves dans la solution de problèmes elliptiques, mais sa généralisation à des cas plus complexes reste difficile. Le projet de thèse se base sur une autre approche qui considère les descriptions du problème de base (et non de sa linéarisation) dans les espaces associés aux grilles de finesse croissante. Il s'agit alors de résoudre des problèmes d'optimisation non-linéaire emboîtés (multi-niveaux), en exploitant cette structure et en maintenant la cohérence globale des processus de solutions pour chacun de ces problèmes. Une méthode générale, basée sur la technique des région de confiance a été proposée et sa convergence a aussi été établie. Les premiers résultats numériques sont en outre assez prometteurs.

Si ces méthodes nouvelles sont intéressantes théoriquement et pratiquement, elles souffrent toutes d'un inconvénient réel dès que l'on souhaite les appliquer à des problèmes complexes comme l'assimilation de données météorologiques. En effet, elles exigent directement ou indirectement le calcul du gradient et du Hessien de la fonction à optimiser. Si les gradients peuvent être obtenus dans certains cas spécifiques, le calcul des Hessiens s'avère pratiquement impossible. Il faut donc développer de nouvelles approches qui évitent cet écueil, en se concentrant d'abord sur les problèmes de complémentarité simples et d'optimisation sans contraintes : c'est l'objet de la recherche proposée.