Étude d'une méthode numérique pour l'approximation du bassin d'attraction de systèmes dynamiques non linéaires au moyen de l'opérateur de Koopman

Abstract

Dans la théorie des systèmes dynamiques non linéaires, l'étude de la stabilité globale de points fixes est un sujet loin d'être évident. En effet, la stabilité de tels attracteurs nécessite en général de déterminer une fonction de Lyapunov particulière parmi une infinité de choix possibles, ce qui peut devenir assez fastidieux. Ce constat motive alors une approche fonctionnelle des systèmes dynamiques via l'opérateur de Koopman. Dans ce contexte, la stabilité de points fixes repose sur l'existence de fonctions propres particulières de l'opérateur et dont le support délimite les frontières du bassin d'attraction de l'équilibre. Cet opérateur étant de dimension infinie, le calcul de ses fonctions propres n'est pas évident et nous devons en général en déterminer une approximation sur un sous-espace fini de fonctions de base. Dans ce cas, l'approximation des fonctions propres est obtenue en calculant les vecteurs propres de la représentation matricielle de l'opérateur. Dans ce mémoire, nous investiguons en particulier l'impact de la projection et du choix de la base sur l'approximation du bassin d'attraction. Pour ce faire, nous développons une méthode numérique générale que nous appliquons pour des fonctions de base radiales et monomiales et que nous testons également en trois dimensions. Nous montrons que l'utilisation de ces fonctions fournit une bonne estimation du bassin d'attraction en particulier pour les fonctions de base radiales qui n'avaient pas encore été traitées dans ce domaine. Parallèlement, nous traitons certaines questions théoriques découlant de cette étude.

Date of Award	24 Jun 2022
Original language	French
Awarding Institution	University of Namur
Supervisor	Alexandre Mauroy (Supervisor)